重积分 | 关于格林公式的思考（补线法、挖洞法、深入理解）

一、沿非闭合曲线的第二类曲线积分1、如何计算沿非闭合曲线的第二类曲线积分？（及格林公式的使用条件）2、利用辅助线法计算曲线积分的一般步骤。3、构造辅助线时须要注意的一些问题。4、利用辅助线法计算第二类曲线积分的典型例题。二、求闭曲线内含奇点的第二类曲线积分在格林公式的使用条件中，须保证函数P,Q在闭曲线L内部任一点处有定义，下面介绍闭曲线L内部含有P,Q无意义的点时（称...

西皮呦

34875人浏览 · 2022-05-25 22:20:33

西皮呦 · 2022-05-25 22:20:33 发布

一、沿非闭合曲线的第二类曲线积分

1、如何计算沿非闭合曲线的第二类曲线积分？（及格林公式的使用条件）

2、利用辅助线法计算曲线积分的一般步骤。

3、构造辅助线时须要注意的一些问题。

4、利用辅助线法计算第二类曲线积分的典型例题。

二、求闭曲线内含奇点的第二类曲线积分

在格林公式的使用条件中，须保证函数P,Q在闭曲线L内部任一点处有定义，下面介绍闭曲线L内部含有P,Q无意义的点时（称为“奇点”），如何利用“挖洞法”计算沿L的第二类曲线积分。

1、闭曲线内部含有被积函数的“奇点”的情形概述。

2、如何利用“挖洞法”计算积分闭曲线内部含奇点的积分？

3、利用挖洞法计算第二类曲线积分的一般步骤。

4、关于挖洞法的一些问题与解答

首先，格林公式有两种。

第一种，简称"无洞型"，也就是单连通区域。这时候不需要考虑任何东西，直接套公式。（注意：是套用单连通的格林公式）

第二种，简称"有洞型"，也就是复连通区域。这时候就是要考虑"挖洞"了。就是采用复连通区域公式。（注意：复连通区域的格林公式是一个整体公式，就是L+l或L-l型的，这得看你所取的方向。而书上跳了这一步，直接拆成了两个部分。这就是很容易造成误解的地方了。

千万千万不能理解成这是两个单连通区域的公式的相加减，这是错误的思想，因为此时是有考虑间断点的。所以不能用上面第一种中的公式，如果用了，就是0-0=0了，想想肯定也不对。）

但是呢，复连通可以向单连通转换。

怎么样转化呢？

就是你得想办法把那个复连通中的"洞"给移走，通俗的说就是去除间断点。其实重要的是用第一类曲面积分可以交换被积函数的思想去处理使分母等于零的奇点。

关于挖洞法的一些思考：

Q1:考虑原点时，为什么要根据分母的函数添加曲线呢？

A1:制造复连通区域，为格林公式

创造条件。也就是制造了一个L+l的复连通区域，后半部分被积函数和积分微元和不包含情况下一模一样。。所以这里很容易让初学者困惑，但其实思想完全不同。但是，因为后半部分，也就是计算过程一模一样，所以这两步的结果必然一模一样。

但是要提醒，复连通格林公式是整体运用，也就是区域要写成L+∂D整体计算，而不是∮L-∮∂D＝0，更不可以理解成∮L＝∮∂D因为等于零只是凑巧题目安排∂P/∂y＝∂Q/∂x。

而且如果有n个奇点，积分为零，相应的曲线积分也有n个值。自证不难(笑)

两个都是不同的区域，因为满足格林公式的条件才都可以使用。而且这里很重要的是要想到，有界闭区域D的积分和其边界∂D的积分是可以沟通起来的(格林公式就是这个目的)。

所以对于单独的曲线积分∂D+，它的积分可以通过格林公式转化为对D区域的二重积分

求和，复连通区域亦是如此，题目中待求的∂D+可以和另一条添加的(洞和外围都无所谓，此处取外围)闭合曲线共同组成复连通区域的新边界L+∂D-(注意边界的取向)，新边界所围的区域的二重积分即可计算。特别是∮xdy-ydx这种情况，直接就是∬dxdy，变成求面积了。

这里其实可以用物理意义去理解，做功相同。

Q2:消去分母的意义是什么呢？

A2:因为原点是奇点的时候不仅仅是格林公式没法用，什么办法都没法求，所以其实用到第一型曲线积分换元的思想。交换被积函数，把分母转化为常数即可，然后整个积分区域∑就都满足被积函数的定义域，被积函数如果是基本初等函数，可以继续用被积函数的混合偏导数连续进行运算(格林公式再次满足条件)。

对于文末的题，第一次是原点不被包含在∑内，所以对于∂D+可以使用格林公式。

第二次是构造了新区域L+∂D-，可以使用格林公式。

第三次是，∮∂D＝∮L，在曲线L上分母转化为常数，剩余被积函数可以连续偏导，满足格林公式使用条件。对L区域求积分。

$ 例题一

### 对挖洞法中构造辅助线的进一步说明。

$ 例题二

这道题很经典，需结合<路径无关+曲线积分基本定理>理解：

为什么上面是零，下面两个积分相减法，还是零？

我认为问题在于格林公式的左边，即二重积分那边----刚开始区域不包含（0，0）时，二重积分那边可以用，但包含的时候，二重积分那边用不了了，所以要把中间的洞挖去。不是因为右边闭合曲线积分不适用，因为曲线积分只关注曲线经过的地方，而曲线经过题目说了不经过（0，0），所以曲线积分根本不在乎你闭合区域中间有没有过（0，0），而是二重积分那边如果通过（0，0）就不适用了。但书上不写二重积分那边，只写右边，可能让大家以为我们问的问题在公式右侧。关于问题本身：是因为你会发现二重积分部分只要不过（0，0）不管怎么积分都是0，所以上下两个式子都是0，和闭合曲线积分怎么写没关系，因为这个0是二重积分那边推出来的。