本文参考论文：Finding community structure in very large networks.
参考博客链接：http://ju.outofmemory.cn/entry/304650
邻接矩阵中A_vw = 1 表示顶点v，w之间有边相连；A_vw = 0 则表示顶点v，w之间没有边相连（在矩阵中对角线位置元素全部为0）。
如果社区内部有很多边而社区之间边很少，那么这个划分是一个好的划分。可以用下面的公式来衡量（该值很大时说明是一个很好的社区划分）：

其中m表示该图中所有的边数。

∂(c_v,c_w) = 1表示顶点v所属的社区与顶点w所属的社区是同一个社区。
但是有一种特殊情况：所有点同属于一个社区，那么上述公式的值就为1。为了处理这种特殊情况，在该值的基础之上，减去在随机网络中该值的一个期望值。那么得到的这个新的式子就是一个很好的度量。
顶点v，w之间随机生成一条边的概率P_vw，也就是期望值，用顶点度表示的话，P_vw = k_vk_w/2m。那么模块度就可以定义为：

其中k_v 表示顶点v的度。
下面给出P_vw = k_vk_w/2m 的推导过程。
每个顶点的度不变，边重新随机的连接，那么顶点v，w之间存在边的期望值记为P_vw。
每个顶点的度不变，那么图中的总边数不会变，因此重新随机连接之后，图中的边数等于原来图的边数。即（我们称之为公式a）

对每个结点v来说，它的度也不会变化，即（我们称之为公式b）

满足上面的式子的同时随机的进行连边，这样选定了一条边的一个顶点之后，在选择另一个顶点的时候，选择到顶点v的概率只与顶点v的度k_v有关。而一条边的两个端点进行选择的时候是相互独立的，因此对于P_vw，有选择顶点v的概率只与k_v有关，选择顶点w的概率只与k_w有关，我们可以把概率看作是顶点度的函数。即
P_vw = F（k_v）F(k_w)
进一步


因为F(k_w)中不含有变量v，那么F(k_v)与k_v 之间存在常数倍的关系，将该常数设置为C。

根据图论的相关知识可知：假设有n个顶点，那么，2m = k₁ + k₂ + … + k_n；
将上述式子两边都是平方，即(2m)^2 = (k₁ + k₂ + … + k_n)^2, 展开即得顶点度两两乘积的累积和。经整理得：C^2 = 1/2m;
那么，P_vw = Ck_vCk_w = k_vk_w/(2m)，得证。