前言

线性回归模型是机器学习中一个基本回归模型，是许多模型的基础，学习好线性回归模型有助于我们的机器学习，这里简单介绍下线性回归模型并且提供Python代码演示。
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线性回归

回归模型(Regression model)是研究一个变量关于另一个或者另一些变量的依赖关系的模型，比如房价和房子面积，地点等的关系等等，如下图所示。而**线性回归(Linear Regression)**是其中的一个基本模型。
　　

当我们谈到线性回归模型的时候，大多指的是多元线性回归，其假设为：
$$y={\theta }^{T}X+b，其中{\theta }^T=({\theta }_1,{\theta }_2,\cdots ,{\theta }_n),X\in R^n$$
　　也就是说这个假设代表了一个在n维空间的超平面，我们需要求得的就是参数${\theta }^T$和$b$。在有了训练集的情况下，有多种方法可以求出这两个参数，我们一般采用梯度下降法求得，详见博文随机梯度下降法，批量梯度下降法和小批量梯度下降法以及代码实现。

损失函数

我们理想模型的目的是尽可能地拟合真实数据$P_{data}$，那么我们就需要一个指标，用于表示模型的预测值与真实值之间的差别，这个指标称为损失函数（loss function, cost function）有很多，如交叉熵，MSE误差, MAE误差等等，这里因为是回归任务，我们选择MSE误差作为损失函数。

MSE函数

均方误差（Mean Squared Error， MSE）也称为L2范数损失，代表了真实数据和预测数据之间的差别，在训练中一般是越小，代表模型拟合训练集的能力越好。其表达式为：
$$L=MSE(y,\hat{y})=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m||y_i-\widehat{y_i}|{|}^2，m是样本数量$$
在一些模型中为了求梯度（导数）方便，常常会加上一个常数因子:
$$L=MSE(y,\hat{y})=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m||y_i-\widehat{y_i}|{|}^2$$
其梯度为：
$$\frac{\partial L}{\partial {\theta }_i}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[(y_i-{\theta }^{T}x-b)x_i]$$
$$\frac{\partial L}{\partial b}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-{\theta }^{T}x-b)$$

模型搭建

整个模型的最优化函数为：
$$\underset{\theta ,b}{\min }\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m||y_i-\widehat{y_i}|{|}^2$$
$$\widehat{y_i}={\theta }^T{x}_i+b$$
由梯度下降法可以得到参数的更新公式为：
$${\theta }_i:={\theta }_i-\eta \frac{\partial L}{\partial {\theta }_i}={\theta }_i+\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[(y_i-{\theta }^{T}x-b)x_i]$$
$$b:=b-\eta \frac{\partial L}{\partial b}=b+\eta \frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y_i-{\theta }^{T}x-b)$$
根据采用的随机梯度下降法的策略，可分为SGD，BGD和MBGD，从而选择m的大小。

代码实现，基于python和numpy

数据描述

这里的数据为了突出多元回归的目的，我们这里人工产生三维点图数据（x，y作为输入向量，z作为输出向量），并且在x，y，z上加上高斯噪声，如：

x = -10:0.01:10;
y = -10:0.01:10;
x_randn = randn(1, length(x))*5;
x = x+x_randn;
y_randn = randn(1, length(y))*5;
y = y+y_randn;
z = 3*x+4*y+6;
z_randn = randn(1, length(z))*10;
z = z+z_randn;
x = x';
y = y';
z = z';
samples = [x, y, z];
save samples.mat

其图像如：

可以看出其是加入了噪声的。

代码

代码和随机梯度下降法，批量梯度下降法和小批量梯度下降法以及代码实现一文中的类似，这里做了一点小改变而已。

import numpy as np
import scipy.io as sio
import random
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

path = u'./samples.mat'

mat = sio.loadmat(path)
dataset = mat['samples']

batch_size = 128

def random_get_samples(mat, batch_size):
    batch_id = random.sample(range(mat.shape[0]), batch_size)
    ret_batch = mat[batch_id, 0:2]
    ret_line = mat[batch_id, 2:3]
    return ret_batch, ret_line

params = {
    'w': np.random.normal(size=(2, 1)),
    'b': np.random.normal(size=(1))
}

def predict(batch):
    return np.dot(batch, params['w'])+params['b']

learning_rate = 0.0003

for i in range(10000):
    batch, true_z = random_get_samples(dataset, batch_size)
    z_pred = predict(batch)
    delta = true_z-z_pred
    params['w'] = params['w']+learning_rate*np.reshape(np.transpose(np.sum(delta*batch, axis=0)), (2, 1))/batch_size
    params['b'] = params['b']+learning_rate*np.sum(delta)/batch_size
    if i % 100 == 0:
        print(np.sum(np.abs(delta))/batch_size)

fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
x = dataset[:, 0]
y = dataset[:, 1]
z = dataset[:, 2]
z_pred = predict(dataset[:, 0:2])
print(params['w'])
print(params['b'])
ax.scatter(x, y, z, c='b')
ax.scatter(x, y, z_pred, c='r')
plt.show()

其结果为：

w = [[ 3.03582457]
    [ 4.0155888 ]]
b = [ 5.54841543]

可见和预设的参数还是很接近的。绘制出来的图像如：

可见对训练数据集进行了很好地拟合。