压缩感知重构算法之OMP算法python实现
压缩感知重构算法之CoSaMP算法python实现
压缩感知重构算法之SP算法python实现
压缩感知重构算法之IHT算法python实现
压缩感知重构算法之OLS算法python实现
压缩感知重构算法之IRLS算法python实现

本文主要简单介绍了利用python代码实现压缩感知的过程。

压缩感知简介

【具体可以参考这篇文章】
假设一维信号$x$长度为N，稀疏度为K。$\Phi$ 为大小$M\times N$矩阵$(M\lt \lt N)$。$y=\Phi \times x$为长度M的一维测量值。压缩感知问题就是已知测量值$y$和测量矩阵$\Phi$的基础上，求解欠定方程组$y=\Phi \times x$得到原信号$x$。Φ的每一行可以看作是一个传感器（Sensor），它与信号相乘，采样了信号的一部分信息。而这一部分信息足以代表原信号，并能找到一个算法来高概率恢复原信号。 一般的自然信号x本身并不是稀疏的，需要在某种稀疏基上进行稀疏表示$x=\psi s$,$\psi$为稀疏基矩阵，$S$为稀疏系数。所以整个压缩感知过程可以描述为

$$y=Φx=ΦΨs=Θs$$

重建算法：OMP算法简析

OMP算法
输 入:测量值y、传感矩阵$Phi=\Phi \psi$、稀疏度K
初始化:初始残差 r0=y,迭代次数t=1,索引值集合index;
步 骤:
1、找到残差r和传感矩阵的列积中最大值对应下标，也就是找到二者内积绝对值最大的一个元素对应的下标，保存到index当中
2、利用index从传感矩阵中找到，新的索引集$Phi_t$
3、利用最小二乘法处理新的索引集和y得到新的近似值$\theta=argmin||y-Phi_t\theta||_2$
4、计算新的残差$r_t=y-Phi_t\theta$，t=t+1
5、残差是否小于设定值，小于的话 退出循环，不小于的话再判断t>K是否成立，满足即停止迭代，否则重新回到步骤1，继续执行该算法。
输 出:θ的K-稀疏近似值

---

实验

要利用python实现，电脑必须安装以下程序

• python （本文用的python版本为3.5.1）
• numpy python包（本文用的版本为1.10.4）
• scipy python包（本文用的版本为0.17.0）
• pillow python包（本文用的版本为3.1.1）

python代码

#coding:utf-8
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# DCT基作为稀疏基，重建算法为OMP算法 ，图像按列进行处理
# 参考文献: 任晓馨. 压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究[D]. 
#北京交通大学, 2012.
#
#%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
# 导入所需的第三方库文件
import  numpy as np
import math
from PIL import Image

#读取图像，并变成numpy类型的 array
im = np.array(Image.open('lena.bmp')) #图片大小256*256

#生成高斯随机测量矩阵
sampleRate=0.7  #采样率
Phi=np.random.randn(256*sampleRate,256)

#生成稀疏基DCT矩阵
mat_dct_1d=np.zeros((256,256))
v=range(256)
for k in range(0,256):  
    dct_1d=np.cos(np.dot(v,k*math.pi/256))
    if k>0:
        dct_1d=dct_1d-np.mean(dct_1d)
    mat_dct_1d[:,k]=dct_1d/np.linalg.norm(dct_1d)

#随机测量
img_cs_1d=np.dot(Phi,im)

#OMP算法函数
def cs_omp(y,D):    
    L=math.floor(3*(y.shape[0])/4)
    residual=y  #初始化残差
    index=np.zeros((L),dtype=int)
    for i in range(L):
        index[i]= -1
    result=np.zeros((256))
    for j in range(L):  #迭代次数
        product=np.fabs(np.dot(D.T,residual))
        pos=np.argmax(product)  #最大投影系数对应的位置        
        index[j]=pos
        my=np.linalg.pinv(D[:,index>=0]) #最小二乘,看参考文献1           
        a=np.dot(my,y) #最小二乘,看参考文献1     
        residual=y-np.dot(D[:,index>=0],a)
    result[index>=0]=a
    return  result

#重建
sparse_rec_1d=np.zeros((256,256))   # 初始化稀疏系数矩阵    
Theta_1d=np.dot(Phi,mat_dct_1d)   #测量矩阵乘上基矩阵
for i in range(256):
    print('正在重建第',i,'列。')
    column_rec=cs_omp(img_cs_1d[:,i],Theta_1d) #利用OMP算法计算稀疏系数
    sparse_rec_1d[:,i]=column_rec;        
img_rec=np.dot(mat_dct_1d,sparse_rec_1d)          #稀疏系数乘上基矩阵

#显示重建后的图片
image2=Image.fromarray(img_rec)
image2.show()

matlab代码

%这个代码是网上某位大哥写的，在此谢过了~
function Demo_CS_OMP()
%------------ read in the image --------------
img=imread('lena.bmp');     % testing image
img=double(img);
[height,width]=size(img);
%------------ form the measurement matrix and base matrix -------
Phi=randn(floor(0.7*height),width);  % only keep one third of the original data  
Phi = Phi./repmat(sqrt(sum(Phi.^2,1)),[floor(0.7*height),1]); % normalize each column

mat_dct_1d=zeros(256,256);  % building the DCT basis (corresponding to each column)
for k=0:1:255 
    dct_1d=cos([0:1:255]'*k*pi/256);
    if k>0
        dct_1d=dct_1d-mean(dct_1d); 
    end;
    mat_dct_1d(:,k+1)=dct_1d/norm(dct_1d);
end

%--------- projection ---------
img_cs_1d=Phi*img;  

%-------- recover using omp ------------
sparse_rec_1d=zeros(height,width);  
Theta_1d=Phi*mat_dct_1d;%测量矩阵乘上基矩阵
for i=1:width
    column_rec=cs_omp(img_cs_1d(:,i),Theta_1d,height);
    sparse_rec_1d(:,i)=column_rec'; %  稀疏系数
end
img_rec_1d=mat_dct_1d*sparse_rec_1d;  %稀疏系数乘上基矩阵


%------------ show the results --------------------
figure(1)
subplot(2,2,1),imshow(uint8(img)),title('original image')
subplot(2,2,2),imagesc(Phi),title('measurement mat')
subplot(2,2,3),imagesc(mat_dct_1d),title('1d dct mat')
psnr = 20*log10(255/sqrt(mean((img(:)-img_rec_1d(:)).^2)));
subplot(2,2,4),imshow(uint8(img_rec_1d));
title(strcat('PSNR=',num2str(psnr),'dB'));

%*******************************************************%
function hat_x=cs_omp(y,T_Mat,m)
% y=T_Mat*x, T_Mat is n-by-m
% y - measurements
% T_Mat - combination of random matrix and sparse representation basis
% m - size of the original signal
% the sparsity is length(y)/4

n=length(y);
s=floor(3*n/4); %  测量值维数
hat_x=zeros(1,m); %  待重构的谱域(变换域)向量                     
Aug_t=[];        %  增量矩阵(初始值为空矩阵)
r_n=y;  %  残差值 

for times=1:s; %  迭代次数(稀疏度是测量的1/4)

    product=abs(T_Mat'*r_n);    
    [val,pos]=max(product);   %最大投影系数对应的位置
    Aug_t=[Aug_t,T_Mat(:,pos)];   %矩阵扩充
    T_Mat(:,pos)=zeros(n,1); %选中的列置零
    aug_x=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*y;  % 最小二乘,看参考文献1
    r_n=y-Aug_t*aug_x;   %残差
    pos_array(times)=pos;   %纪录最大投影系数的位置

end
hat_x(pos_array)=aug_x;  %  重构的向量 

参考文献

1、最小二乘法介绍 （wiki链接）
2、任晓馨. 压缩感知贪婪匹配追踪类重建算法研究[D]. 北京交通大学, 2012.（OMP算法介绍）

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