近端梯度下降的背景

近端梯度下降（Proximal Gradient Descent, PGD）是众多梯度下降算法中的一种，与传统的梯度下降算法以及随机梯度下降算法相比，近端梯度下降算法的使用范围相对狭窄，对于凸优化问题，PGD常用与目标函数中包含不可微分项时，如$L1$范数、迹范数或者全变正则项等。

常见线性回归问题

很多优化问题都可以转换为线性回归问题，假设线性回归的表达式是$y=Xw$其中$y\in R^m$，$X\in R^{m\times n}$，是已知的，$w\in R^n$表示参数向量，是未知的。根据应用场景不同，变量和参数具有的意义也不同。

最常见的线性回归模型的目标函数即可表示为：$$f(w)=\frac{1}{2}||y-Xw|{|}_2^2$$求解上述优化问题可通过最小二乘法或者梯度下降的方法。在实际情况中，我们通常会对参数向量$w$进行限制，如为了减小模型的复杂度，会要求参数向量为稀疏的形式，此时会加入$L1$正则项；为了提高模型的泛化能力，会要求参数比较小，此时会加入$L2$正则项，则得到的回归模型分别为Lasso回归和Ridge回归模型。

Lasso回归模型的目标函数：
$$f(w)=\frac{1}{2}||y-Xw|{|}_2^2+\lambda ||w|{|}_1$$Ridge回归模型的目标函数：
$$f(w)=f(w)=\frac{1}{2}||y-Xw|{|}_2^2+\beta ||w|{|}_2^2$$

对于Lasso回归模型的目标函数，$||w|{|}_1$是一个凸函数，并且是不可微的，传统的梯度下降则通常要求目标函数是可微的，所以为了解决含有不可微凸函数项的目标函数优化问题，近端梯度下降算法就此提出。近端梯度下降主要解决的问题可表示为： m i n f ( w ) = m i n { g ( w ) + h ( w ) } min f(w) = min \{g(w) + h(w)\} minf(w)=min{g(w)+h(w)}其中$g(w)$是凸函数，并且可微；$h(w)$也是凸函数，但是在某些地方不可微，对应于Lasso回归模型中就是$||w|{|}_1$项。

近端算子（Proximal Operator）

在介绍近端梯度下降之前，我们需要先引入近端算子的概念。近端算子是一种映射，并且它只和不可微的凸函数$h(w)$有关，它的表现形式是： p r o x h ( w ) = a r g m i n u { h ( u ) + 1 2 ∣ ∣ u − w ∣ ∣ 2 2 } prox_{h}(w) = arg \mathop{min} \limits_{u}\{h(u) + \frac{1}{2}||u - w||_{2}^{2}\} proxh​(w)=argumin​{h(u)+21​∣∣u−w∣∣22​}其中$pro{x}_h(w)$表示变量$w$和函数$h(.)$的近端算子。上面的公式的意义是：对于任意给定的$w\in R^n$，我们希望找到使得 $h(u)+\frac{1}{2}||u-w|{|}_2^2$最小化的解。若$u=pro{x}_h(w)$为最优解，则这个解的意义是，当我们知道存在不可微点的函数$h(w)$在点$w$处不可微时，则我们就去找一个点$u$，这个点$u$不仅仅使得函数$h(w)$取得较小的值，还非常接近不可微分点$w$。

通常在通过近端算子进行迭代递推时，会引入一个迭代步长$t$，即：
p r o x h ( . ) , t ( w ) = a r g m i n u { h ( u ) + 1 2 t ∣ ∣ u − w ∣ ∣ 2 2 } prox_{h(.),t}(w) = arg \mathop{min} \limits_{u}\{h(u) + \frac{1}{2t}||u - w||_{2}^{2}\} proxh(.),t​(w)=argumin​{h(u)+2t1​∣∣u−w∣∣22​}

特别地，当$h(w)=\lambda ||x|{|}_1$时，$pro{x}_h(w)$就是所谓的软阈值函数（soft thresholding function），即$pro{x}_h(w)=sof{t}_{\lambda }(w)$，其中$$sof{t}_{\lambda }(w)=sgn(w)(|w|-\lambda {)}_{+}=\{\begin{array}{rlr}& w-\lambda ,& w\ge \lambda \\ & 0,& |w|\le \lambda \\ & w+\lambda ,& w\le -\lambda \end{array}$$加入迭代步长$t$之后的形式是：$$sof{t}_{\lambda ,t}(w)=sgn(w)(|w|-\lambda t{)}_{+}=\{\begin{array}{rlr}& w-\lambda t,& w\ge \lambda t\\ & 0,& |w|\le \lambda t\\ & w+\lambda t,& w\le -\lambda t\end{array}$$

软阈值算子计算时针对的是向量$w$的分量形式。软阈值函数的图像形式是：

近端梯度下降迭代递推方法

对于问题优化$arg\underset{w}{\min }f(w)=g(w)+h(w)$，通过近端梯度下降算法进行迭代求解时，变量$w$的迭代递推公式是：$$w_k=pro{x}_{t,h(.)}(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))$$其中，$w$的下标表示迭代次数，$t$表示迭代步长。

下面简单介绍如何进行证明。首先，在每一步进行迭代中，近端梯度下降将点$w_{k-1}$处的近似函数取得最小值的点作为下一次迭代的起始点$w_k$。对于$f(w)$在点$w_{k-1}$处的近似函数可以通过泰勒公式以及Lipschitz continuous gradient进行二阶近似，即$$Q(w,w_{k-1})=g(w_{k-1})+<\nabla g(w_{k-1}),w-w_{k-1}>+\frac{L}{2}||w-w_{k-1}|{|}_2^2+h(w)$$

所以我们即是需要证明：$$w_k=pro{x}_{t,h(.)}(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))=arg\underset{w}{\min }Q(w,w_{k-1})$$

接着，我们将软阈值算子进行展开：
$$\begin{array}{rl}{w}_k& =pro{x}_{t,h(.)}(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))\\ & =arg\underset{w}{\min }h(w)+\frac{1}{2t}||w-(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))|{|}_2^2\\ & =arg\underset{w}{\min }h(w)+\frac{t}{2}||\nabla g(w_{k-1})|{|}_2^2+<\nabla g(w_{k-1}),w-w_{k-1}>+\frac{1}{2t}||w-w_{k-1}|{|}_2^2\\ & =arg\underset{w}{\min }h(w)+g(w_{k-1})+<\nabla g(w_{k-1}),w-w_{k-1}>+\frac{1}{2t}||w-w_{k-1}|{|}_2^2\end{array}$$因为 $t/2||\nabla g(w_{k-1})|{|}_2^2$是常数，与所求变量$w$无关，所以最后两步是等价的。

又因为：$$\begin{array}{rl}{w}_k& =arg\underset{w}{\min }Q(w,w_{k-1})\\ & =arg\underset{w}{\min }h(w)+g(w_{k-1})+<\nabla g(w_{k-1}),w-w_{k-1}>+\frac{L}{2}||w-w_{k-1}|{|}_2^2\end{array}$$所以得证。并且从结果看，两者区别只是在于迭代步长的选取。其中$t=1/L$在理论上迭代速度最快的。

以Lasso线性回归问题为例

对于Lasso线性回归问题，即是求解 $arg\underset{w}{\min }f(w)=g(w)+h(w)$，其中$g(w)=\frac{1}{2}||y-Xw|{|}_2^2$，$h(w)=\lambda ||w|{|}_1$。
由近端算子以及近端梯度算法递推公式可知变量$w$的迭代递推公式是：$$w_k=pro{x}_{t,h(.)}(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))=sof{t}_{t,\lambda }(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))$$其中，$\nabla g(w_{k-1})=X^T(Xw-y)$，则上式即：$$w_k=pro{x}_{t,h(.)}(w_{k-1}-t\nabla g(w_{k-1}))=sof{t}_{t,\lambda }(w_{k-1}-t{X}^{T}Xw+t{X}^{T}y)$$这里每次迭代中通过一个软阈值（收缩）的操作来更新$w$，实际上就是迭代软阈值算法 (Iterative Soft-Thresholding Algorithm, ISTA)，或者称为迭代阈值收缩算法（Iterative Shrinkage Thresholding Algorithm, ISTA）。

参考资料

机器学习 | 近端梯度下降法 (proximal gradient descent)
LASSO回归与L1正则化 西瓜书
软阈值迭代算法（ISTA）和快速软阈值迭代算法（FISTA）