点二列相关分析（Point-Biserial Correlation Analysis）

点二列相关分析是一种用于衡量一个二元变量（通常取值为0和1）与一个连续变量之间相关性的统计方法。它常用于教育学、心理学和社会科学等领域，以评估二元变量对连续变量的影响。

一、起源

点二列相关系数是皮尔逊积矩相关系数的特例，由卡尔·皮尔逊（Karl Pearson）提出。皮尔逊在研究统计学理论时，发现传统的相关系数方法无法有效处理二元变量和连续变量的组合情况，因此提出了点二列相关系数，用于分析这类特殊数据的相关性。

二、原理

点二列相关系数（Point-Biserial Correlation Coefficient）的计算公式如下：

$r_{pb}=\frac{{\bar{X}}_1-{\bar{X}}_0}{s}\sqrt{\frac{n_1{n}_0}{n(n-1)}}$

其中：

• ${\bar{X}}_1$ 和 ${\bar{X}}_0$ 分别表示连续变量在二元变量取值为1和0时的均值。
• $s$ 表示连续变量的标准差。
• $n_1$ 和 $n_0$ 分别表示二元变量取值为1和0的样本数量。
• $n$ 表示总样本数量。

点二列相关系数的计算基于连续变量的均值差异，标准差和样本数量的组合，能够有效评估二元变量和连续变量之间的关系。

三、步骤

1. 数据准备：收集包含二元变量和连续变量的数据。
2. 计算均值：分别计算连续变量在二元变量取值为1和0时的均值。
3. 计算标准差：计算连续变量的总体标准差。
4. 计算点二列相关系数：使用公式计算点二列相关系数。

四、应用场景

点二列相关分析广泛应用于教育学、心理学和社会科学等领域，特别是在以下情况下：

• 评估考试成绩与通过/未通过之间的关系。
• 分析治疗方法（有效/无效）与病人恢复时间之间的关系。
• 探讨某种行为（如吸烟/不吸烟）与健康指标（如血压）之间的关系。

五、案例分析

假设我们有一组数据，包含学生是否通过考试（二元变量）和他们的学习时间（连续变量）。我们希望通过点二列相关分析评估这两个变量之间的关系。数据如下：

学生  通过考试（1=通过，0=未通过）  学习时间（小时）
A     1                           10
B     0                            5
C     1                            8
D     0                            3
E     1                            7
F     0                            4
G     1                            9

1. 数据准备：

   学生  通过考试  学习时间（小时）
   A     1        10
   B     0         5
   C     1         8
   D     0         3
   E     1         7
   F     0         4
   G     1         9
   

2. 计算均值：

   ${\bar{X}}_1=\frac{10+8+7+9}{4}=8.5$
   ${\bar{X}}_0=\frac{5+3+4}{3}=4$

3. 计算标准差：

   $s=\sqrt{\frac{(10-7{)}^2+(5-4{)}^2+(8-7{)}^2+(3-4{)}^2+(7-7{)}^2+(4-4{)}^2+(9-7{)}^2}{7-1}}=2.29$

4. 计算点二列相关系数：

   $r_{pb}=\frac{8.5-4}{2.29}\sqrt{\frac{4\times 3}{7\times 6}}=0.87$

结果表明，学习时间与通过考试之间有较强的正相关关系。

六、Python代码示例

使用Python进行点二列相关系数计算，可以使用scipy库中的pointbiserialr函数：

import numpy as np
from scipy.stats import pointbiserialr

# 数据准备
passed = np.array([1, 0, 1, 0, 1, 0, 1])
study_time = np.array([10, 5, 8, 3, 7, 4, 9])

# 计算点二列相关系数
corr, _ = pointbiserialr(passed, study_time)
print(f"通过考试与学习时间的点二列相关系数: {corr}")

七、R代码示例

使用R进行点二列相关系数计算，可以使用cor函数并指定方法为pearson：

# 数据准备
passed <- c(1, 0, 1, 0, 1, 0, 1)
study_time <- c(10, 5, 8, 3, 7, 4, 9)

# 计算点二列相关系数
corr <- cor(passed, study_time, method = "pearson")
print(paste("通过考试与学习时间的点二列相关系数:", corr))

八、注意事项

• 点二列相关系数的取值范围为-1到1，正值表示正相关，负值表示负相关，0表示无相关。
• 样本量较小时，点二列相关系数可能不稳定，应谨慎解释结果。
• 点二列相关系数假设二元变量是随机变量，且样本来自正态分布的总体。
• 点二列相关系数与独立样本 t 检验具有一致性，即如果二元变量和连续变量显著相关，则两组之间的均值差异显著。

九、总结

点二列相关分析是一种灵活且有效的统计方法，特别适用于评估二元变量与连续变量之间的关系。通过对这两种变量之间关系的分析，可以帮助研究者更好地理解数据，为教育学、心理学和社会科学等领域的研究和决策提供有力支持。