残差网络(Residual Net, ResNet)自从2015年面世以来，凭借其优异的性能在ILSVRC中以绝对优势获得第一名，并成功应用于许多领域。

1. 传统深度网络的问题

在深度学习或者神经领域的研究中，一般认为，网络越深（层数越多），网络的性能应该会更好，因为更深的网络倾向于有更强大的表示能力，即网络容量越大。

但是在实际过程中，我们发现过深的网络反而会导致性能的下降。在网络结构的设计中似乎存在一种“阈值”，在到达一定的层数之后，训练误差和测试误差都会加大。下图为一个24层网络和一个56层网络在CIFAR10数据集的训练表现。

显然，这种性能的下降并不是因为过拟合引起的。因为过拟合意味着训练误差正常减小，而测试误差显著增大。

对这种现象的一种解释是，在网络深度过深的时候，低层参数的细微变动都会引起高层参数的剧烈变化，优化算法没有能力去得到一个最优解。

做这样一个假设，假设有一个50层的网络，但在其优化过程中，最容易优化出最佳解的层数是25，那么这个网络的后25层应当作为一个恒等映射。
$${\mathbf{x}}_{25}=f_1(\mathbf{x})$$$$\mathbf{out}=f_2({\mathbf{x}}_{25})$$

由于神经网络由非线性层组合而成，学习一个恒等映射是比较困难的。优化算法的局限性使得“冗余”的网络层学习到了不适合恒等映射的参数。

2. 残差结构和残差网络

2.1 残差是什么

残差的统计学定义：实际观测值和估计值（拟合值）之间的差值。

如果存在某个k层的网络$F$是当前最优的网络，那么可以构造一个更深的网络，其最后几层仅是网络f第k层输出的恒等映射，就可以取得与$F$一致的结果

如果k还不是最佳层数，那么更深的网络就可以取得更好的结果。所以，如果深层网络的效果不如浅层网络，那么则说明新加入层不好学。

如果不好学，则可以使用类似“分治法”，分开求解恒等映射和非恒等映射。
x代表之前浅层网络已经学到的东西
F(x)代表已经学到的东西和要学的东西的之间的残差

现在只学F(x)就能与x组合起来。

$$\begin{gathered} H(\mathbf{x})=F(\mathbf{x})+\mathbf{x} \\ F(\mathbf{x})=H(\mathbf{x})-\mathbf{x} \end{gathered}$$

令$x$成为恒等映射，那么只需要学习残差$F(x)$作为非恒等映射。
残差在这里，指的是直接的映射H(x)与快捷连接x的差值，也就是$F(\mathbf{x})$。

2.2 残差模块 Residual Block

据此，我们设计一个残差模块（Residual Block）的结构如下：

$${\mathbf{y}}_l=h({\mathbf{x}}_l)+\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$$${\mathbf{x}}_{l+1}=f({\mathbf{y}}_l)$$
在网络实现中：
$$h({\mathbf{x}}_l)={\mathbf{x}}_{l}f=\mathrm{ReLU}$$$${\mathbf{x}}_{l+1}\equiv {\mathbf{y}}_l$$
最后得到的残差模块表达式如下：
$${\mathbf{x}}_{l+1}={\mathbf{x}}_l+\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$

2.3 基本模块BasicBlock和BottleNeck

在残差网络中，基本的残差模块由两个3×3的卷积层和ReLU激活函数、BatchNorm层组成。其结构如下（以64个channel的输入为例）：

BasicBlock(
    (conv1): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1), bias=False)
    (bn1): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True)
    (relu): ReLU(inplace=True)
    (conv2): Conv2d(64, 64, kernel_size=(3, 3), stride=(1, 1), padding=(1, 1), bias=False)
    (bn2): BatchNorm2d(64, eps=1e-05, momentum=0.1, affine=True, track_running_stats=True)
)

在网络层数过深的时候，考虑到训练成本，作者提出了一种新的结构设计BottleNeck。将原来的两个3×3的卷积层变为两个1×1的卷积层和一个3×3的卷积层。其中，两个1×1的卷积层负责降低/恢复通道维度，3×3的卷积层负责“真正”的卷积运算。其结构如下图右图所示，BottleNeck的运算具有更小的时间复杂度。

2.4 残差网络ResNet设计

在文中，作者给出了ResNet18、ResNet34、ResNet50、ResNet101、ResNet152等网络设计，分别对应不同层数的卷积运算层。在50层及以上的网络中，都使用BottleNeck结构进行网络构建。

2.4.1 恒等映射与残差的连接

在网络设计中，特别需要注意的是在不同layer之间，例如conv2_x和conv3_x间，输出和输入的尺寸是不一样的，如下图虚线所示。

对于残差运算，这可以很简单的通过卷积进行尺寸的变换，对于恒等映射，作者考虑了如下几个方法进行变换：

1. 给恒等映射$\mathbf{x}$添加0，扩充其维度
2. 用一个1×1的卷积进行下采样
   

在代码实现中，采用下采样的方法对恒等映射进行变换。

3. Forward/Backward Propagation

3.1 Forward propogation

传统网络

$F(x,w)=xw$
$x_L=F(x_{L-1},w_{L-1})=F(F(x_{L-2},w_{L-2}),w_{L-1})\cdots ={\prod }_{i=1}^{L-1}{x}_i{w}_i$

残差网络
$x_2=x_1+F(x_1,w_1)$
$x_3=x_2+F(x_2,w_2)=x_1+F(x_1,w_1)+F(x_2,w_2)$
$\cdots$
$x_L=x_1+{\sum }_{i=1}^{L-1}F(x_i,w_i)$

3.2 Back Propogation

传统网络
浅层网络是$g(x)$，加入层以后变成$f(g(x))$
$$\frac{\partial f(g(x))}{\partial x}=\frac{\partial f(g(x))}{\partial g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial x}$$
残差网络
$$\frac{\partial (f(g(x))+g(x))}{\partial x}=\frac{\partial f(g(x))}{\partial g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial x}+\frac{\partial g(x)}{\partial x}$$

可以看到，在求梯度的过程中，残差网络相比传统网络多加了一项，这有利于解决梯度消失，是网络训练的更快

损失函数对网络的第$l$求梯度：
传统网络
$$\frac{\partial Loss}{\partial x_l}=\frac{\partial Loss}{\partial x_L}\frac{\partial x_L}{\partial x_l}=\frac{\partial Loss}{\partial x_L}\frac{\partial {\prod }_{i=1}^{L-1}{x}_i{w}_i}{\partial x_l}$$
残差网络
$$\frac{\partial Loss}{\partial x_l}=\frac{\partial Loss}{\partial x_L}\frac{\partial x_L}{\partial x_l}=\frac{\partial Loss}{\partial x_L}(1+\frac{\partial {\sum }_{i=l}^{L-1}F(x_i,w_i)}{\partial x_l})$$

可以看到，在残差网络中，梯度由乘法变加法，这可以有效缓解梯度消失和梯度爆炸。

4. 代码分析

PyTorch现已将ResNet整合为python库，可以直接调用。源码的地址如下：
https://github.com/pytorch/vision/blob/main/torchvision/models/resnet.py
基本的卷积层：

def conv3x3(in_planes, out_planes, stride=1, groups=1, dilation=1):
    """3x3 convolution with padding"""
    return nn.Conv2d(in_planes, out_planes, kernel_size=3, stride=stride,
                     padding=dilation, groups=groups, bias=False, dilation=dilation)


def conv1x1(in_planes, out_planes, stride=1):
    """1x1 convolution"""
    return nn.Conv2d(in_planes, out_planes, kernel_size=1, stride=stride, bias=False)

其中，对输入进行下采样在卷积层中有两种实现方式：

• 第一种采用stride，在下采样是，设置stride=2，即卷积核每次移动的步长是2，使得输出的尺寸变小。
• 第二种采用dilation，即在每次采样的时候，卷积核各一个像素进行一次采样。https://github.com/vdumoulin/conv_arithmetic/blob/master/README.md中有很生动的直观演示。

Basic Block
其中，expension代表了经过一个Block之后，channel数量的变化。这里输出channel维度与预设一样，expension为1。

class BasicBlock(nn.Module):
    expansion = 1

    def __init__(self, inplanes, planes, stride=1, downsample=None, groups=1,
                 base_width=64, dilation=1, norm_layer=None):
        super(BasicBlock, self).__init__()
        if norm_layer is None:
            norm_layer = nn.BatchNorm2d
        if groups != 1 or base_width != 64:
            raise ValueError('BasicBlock only supports groups=1 and base_width=64')
        if dilation > 1:
            raise NotImplementedError("Dilation > 1 not supported in BasicBlock")
        # Both self.conv1 and self.downsample layers downsample the input when stride != 1
        self.conv1 = conv3x3(inplanes, planes, stride)
        self.bn1 = norm_layer(planes)
        self.relu = nn.ReLU(inplace=True)
        self.conv2 = conv3x3(planes, planes)
        self.bn2 = norm_layer(planes)
        self.downsample = downsample
        self.stride = stride

    def forward(self, x):
        identity = x

        out = self.conv1(x)
        out = self.bn1(out)
        out = self.relu(out)

        out = self.conv2(out)
        out = self.bn2(out)

        if self.downsample is not None:
            identity = self.downsample(x)

        out += identity
        out = self.relu(out)

        return out

BottleNeck
BottleNeck输出的channel输出是对应BasicBlock的4倍，所以expension=4

class Bottleneck(nn.Module):
    # Bottleneck in torchvision places the stride for downsampling at 3x3 convolution(self.conv2)
    # while original implementation places the stride at the first 1x1 convolution(self.conv1)
    # according to "Deep residual learning for image recognition"https://arxiv.org/abs/1512.03385.
    # This variant is also known as ResNet V1.5 and improves accuracy according to
    # https://ngc.nvidia.com/catalog/model-scripts/nvidia:resnet_50_v1_5_for_pytorch.

    expansion = 4

    def __init__(self, inplanes, planes, stride=1, downsample=None, groups=1,
                 base_width=64, dilation=1, norm_layer=None):
        super(Bottleneck, self).__init__()
        if norm_layer is None:
            norm_layer = nn.BatchNorm2d
        width = int(planes * (base_width / 64.)) * groups
        # Both self.conv2 and self.downsample layers downsample the input when stride != 1
        self.conv1 = conv1x1(inplanes, width)
        self.bn1 = norm_layer(width)
        self.conv2 = conv3x3(width, width, stride, groups, dilation)
        self.bn2 = norm_layer(width)
        self.conv3 = conv1x1(width, planes * self.expansion)
        self.bn3 = norm_layer(planes * self.expansion)
        self.relu = nn.ReLU(inplace=True)
        self.downsample = downsample
        self.stride = stride

    def forward(self, x):
        identity = x

        out = self.conv1(x)
        out = self.bn1(out)
        out = self.relu(out)

        out = self.conv2(out)
        out = self.bn2(out)
        out = self.relu(out)

        out = self.conv3(out)
        out = self.bn3(out)

        if self.downsample is not None:
            identity = self.downsample(x)

        out += identity
        out = self.relu(out)

        return out

ResNet
在构造每个层的时候，要注意在输出通道和输入通道数量不一致的时候，要添加一个下采样层对恒等映射进行下采样

class ResNet(nn.Module):

    def __init__(self, block, layers, num_classes=1000, zero_init_residual=False,
                 groups=1, width_per_group=64, replace_stride_with_dilation=None,
                 norm_layer=None):
        super(ResNet, self).__init__()
        if norm_layer is None:
            norm_layer = nn.BatchNorm2d
        self._norm_layer = norm_layer

        self.inplanes = 64
        self.dilation = 1
        if replace_stride_with_dilation is None:
            # each element in the tuple indicates if we should replace
            # the 2x2 stride with a dilated convolution instead
            replace_stride_with_dilation = [False, False, False]
        if len(replace_stride_with_dilation) != 3:
            raise ValueError("replace_stride_with_dilation should be None "
                             "or a 3-element tuple, got {}".format(replace_stride_with_dilation))
        self.groups = groups
        self.base_width = width_per_group
        self.conv1 = nn.Conv2d(3, self.inplanes, kernel_size=7, stride=2, padding=3,
                               bias=False)
        self.bn1 = norm_layer(self.inplanes)
        self.relu = nn.ReLU(inplace=True)
        self.maxpool = nn.MaxPool2d(kernel_size=3, stride=2, padding=1)
        self.layer1 = self._make_layer(block, 64, layers[0])
        self.layer2 = self._make_layer(block, 128, layers[1], stride=2,
                                       dilate=replace_stride_with_dilation[0])
        self.layer3 = self._make_layer(block, 256, layers[2], stride=2,
                                       dilate=replace_stride_with_dilation[1])
        self.layer4 = self._make_layer(block, 512, layers[3], stride=2,
                                       dilate=replace_stride_with_dilation[2])
        self.avgpool = nn.AdaptiveAvgPool2d((1, 1))
        self.fc = nn.Linear(512 * block.expansion, num_classes)

        for m in self.modules():
            if isinstance(m, nn.Conv2d):
                nn.init.kaiming_normal_(m.weight, mode='fan_out', nonlinearity='relu')
            elif isinstance(m, (nn.BatchNorm2d, nn.GroupNorm)):
                nn.init.constant_(m.weight, 1)
                nn.init.constant_(m.bias, 0)

        # Zero-initialize the last BN in each residual branch,
        # so that the residual branch starts with zeros, and each residual block behaves like an identity.
        # This improves the model by 0.2~0.3% according to https://arxiv.org/abs/1706.02677
        if zero_init_residual:
            for m in self.modules():
                if isinstance(m, Bottleneck):
                    nn.init.constant_(m.bn3.weight, 0)
                elif isinstance(m, BasicBlock):
                    nn.init.constant_(m.bn2.weight, 0)

    def _make_layer(self, block, planes, blocks, stride=1, dilate=False):
        norm_layer = self._norm_layer
        downsample = None
        previous_dilation = self.dilation
        if dilate:
            self.dilation *= stride
            stride = 1
        if stride != 1 or self.inplanes != planes * block.expansion:
            downsample = nn.Sequential(
                conv1x1(self.inplanes, planes * block.expansion, stride),
                norm_layer(planes * block.expansion),
            )

        layers = []
        layers.append(block(self.inplanes, planes, stride, downsample, self.groups,
                            self.base_width, previous_dilation, norm_layer))
        self.inplanes = planes * block.expansion
        for _ in range(1, blocks):
            layers.append(block(self.inplanes, planes, groups=self.groups,
                                base_width=self.base_width, dilation=self.dilation,
                                norm_layer=norm_layer))

        return nn.Sequential(*layers)

    def _forward_impl(self, x):
        # See note [TorchScript super()]
        x = self.conv1(x)
        x = self.bn1(x)
        x = self.relu(x)
        x = self.maxpool(x)

        x = self.layer1(x)
        x = self.layer2(x)
        x = self.layer3(x)
        x = self.layer4(x)

        x = self.avgpool(x)
        x = torch.flatten(x, 1)
        x = self.fc(x)

        return x

    def forward(self, x):
        return self._forward_impl(x)

5. 恒等映射

对残差做一个简单的改进：$${\mathbf{x}}_{l+1}={\lambda }_l{\mathbf{x}}_l+\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$
则有：
$${\mathbf{x}}_L=(\prod _{i=l}^{L-1}{\lambda }_i){\mathbf{x}}_l+\sum _{i=l}^{L-1}\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$
求梯度，有：
$$\frac{\partial Loss}{\partial {\mathbf{x}}_l}=\frac{\partial Loss}{\partial {\mathbf{x}}_L}\frac{\partial {\mathbf{x}}_L}{\partial {\mathbf{x}}_l}=\frac{\partial Loss}{\partial {\mathbf{x}}_L}(\prod _{i=l}^{L-1}{\lambda }_i+\frac{\partial {\sum }_{i=l}^{L-1}\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)}{\partial {\mathbf{x}}_l})$$

可以看到，$\lambda$大于1的时候，累乘会造成梯度爆炸；在小于1的时候，累乘会造成梯度消失。

6. 分析残差连接

作者给出了一下几种残差连接的变体：
Original
$${\mathbf{x}}_{l+1}={\mathbf{x}}_l+\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$constant
$${\mathbf{x}}_{l+1}={\lambda }_1{\mathbf{x}}_l+{\lambda }_2\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$exclusive gating
$${\mathbf{x}}_{l+1}=(1-g({\mathbf{x}}_l)){\mathbf{x}}_l+g({\mathbf{x}}_l)\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$shortcut-only gating
$${\mathbf{x}}_{l+1}=(1-g({\mathbf{x}}_l)){\mathbf{x}}_l+\mathcal{F}({\mathbf{x}}_l,{\mathcal{W}}_l)$$
其余还包括1×1 conv shortcut和dropout shortcut

这几种残差连接的示意图如下所示：

作者给出的实验结果如下：

可以看出，原版的残差连接时效果最好的。使用exclusive gate的效果则强烈依赖于偏差的设定。

7. 不同结构的残差模块

作者接下来分析了不同残差模块的设计带来的影响。

• 在（b）中，由于BN层的存在，使得${\mathbf{x}}_{l+1}=f({\mathbf{y}}_l)$不再是一个线性映射，这会影响残差网络的性能
• 在（c）中，残差目标最后的ReLU激活层使得残差的输出范围是非负的。然而，无论是数学定义上还是经验上，残差的范围应该是$(-\infty ,+\infty )$，非负的残差影响模型性能
• zai（d）和（e）中，作者采用了一种pre-activation的想法。
  在原版设计中，$f$会影响到残差模块的两个部分：
  $${\mathbf{y}}_{l+1}=f({\mathbf{y}}_l)+\mathcal{F}(f({\mathbf{y}}_l),{\mathcal{W}}_{l+1})$$
  pre-activation使得$f$只影响残差部分，不影响恒等映射
  $${\mathbf{y}}_{l+1}={\mathbf{y}}_l+\hat{\mathcal{F}}(f({\mathbf{y}}_l),{\mathcal{W}}_{l+1})$$
  在网络设计中，结构如下：
  
  实际上，当我们将BN层一同放在卷积层的前面的时候，网络性能会进一步提升，这可以看做BN层起到了正则化的作用。