一、什么是回溯法？

• 💛 回溯法的定义：是一种选优搜索法，又称为试探法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。
• 💚 回溯法的应用：
  
• 💙 回溯法的模板：

public void backtracing(参数列表){
	if(终止条件){
		存放结果;
		return;
	}

	for(选择 : 选择列表){
		做选择;
        backtracking(路径, 选择路径);
       	回溯，撤销选择;
	}
}

• ❤️ 如何理解回溯法:

根据问题去创建一个用于搜索所有解N叉树，遍历其中的结点，如果满足条件就进行选择，然后将选择操作重置回溯到进行选择操作前的状态。

通过穷举来寻找问题的答案，可以通过剪枝法来提高回溯的效率，但是这种算法的效率还不是很高，但因为某些问题只能用这个算法来求解，所以这个算法没有被淘汰。

回溯法是通过递归来完成的，递归有结束条件，回溯法也要设置终止条件。

二、回溯法的具体应用

1.全排列问题

• 问题描述：
  
  这里引用代码随想录的全排列分析图：
  
  📝 解题思路：

（1）创建两个集合，一个用来保存排序的结果，一个保存排序结果的集合

（2）可以设置一个布尔型的数组，来表示当前元素是否已经出现在组合中了

（3）当保存排列结果组合的长度等于了数组的长度，说明此时该集合中的元素已经包含了数组中的全部元素，然后将其添加到结果集合中即可。

• Java版本：

class Solution {
    //存放排列结果的集合
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<List<Integer>>();
    //存放排列结果
    private LinkedList<Integer> path = new LinkedList<Integer>();
    
    public void permuteBackTracking(int [] nums){
        //当前集合已经构成一种排列的情况
        if(path.size() == nums.length){
            result.add(new ArrayList<Integer>(path));
            return;
        }

        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            //当前元素是否已经存在于path集合
            if(path.contains(nums[i])){
                continue;
            }
            //更新
            path.add(nums[i]);
            permuteBackTracking(nums);

            //回溯
            path.removeLast();
        }
    }
    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        //调用方法选择全排列
        permuteBackTracking(nums);
        //返回结果
        return result;
    }
}

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2.N皇后问题

• 问题描述：
  
  皇后问题：皇后们不能出现在同行，同列和对角线上

N皇后是回溯法的一个经典题，那么如何进行回溯呢？

类似于下棋，去放置好一个皇后时，其余皇后的位置将会受到限制

算法要求最后返回的是一个集合子集合为字符串类型，但是我们直接用字符串去模拟每一行的话，不利于修改皇后的位置和判断是否冲突，所以采用二维字符数组来模拟棋盘

这就导致为结果集合添加子集合时，需要将二维字符数组转化为字符串类型的集合：

//创建一个字符串集合
ArrayList<String> str = new ArrayList<String>();
//遍历二维字符串数组
for(char [] ch : chessbord){
	str.add(String.copyValueOf(ch));
}

需要判断如果在当前位置放皇后，是否满足条件：行、列、对角线

//声明: row代表行  col代表列  n代表皇后的个数  chessword代表棋盘

//因为每放置一个皇后就会递归进入下一行，所以不会出现两个皇后在同一行的情况

//判断是否满足皇后们不在同一列
for(int i = 0; i < row; i++){
	if(chessboard[i][col] == 'Q'){
		return false;
	}
}

// 检查45度对角线
        for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

// 检查135度对角线
for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
	if (chessboard[i][j] == 'Q') {
    return false;
}

接下来就为回溯法里面的内容了，判断当前行是否和皇后的个数相同，如果相同说明已经完成了一种N皇后的放置。

之后直接套用回溯法的模板即可。

• Java版本：

class Solution {
    List<List<String>> res = new ArrayList<>();

    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        char[][] chessboard = new char[n][n];
        for (char[] c : chessboard) {
            Arrays.fill(c, '.');
        }
        backTrack(n, 0, chessboard);
        return res;
    }


    public void backTrack(int n, int row, char[][] chessboard) {
        if (row == n) {
            res.add(Array2List(chessboard));
            return;
        }

        for (int col = 0;col < n; ++col) {
            if (isValid (row, col, n, chessboard)) {
                chessboard[row][col] = 'Q';
                backTrack(n, row+1, chessboard);
                chessboard[row][col] = '.';
            }
        }

    }


    public List Array2List(char[][] chessboard) {
        List<String> list = new ArrayList<>();

        for (char[] c : chessboard) {
            list.add(String.copyValueOf(c));
        }
        return list;
    }


    public boolean isValid(int row, int col, int n, char[][] chessboard) {
        // 检查列
        for (int i=0; i<row; ++i) { // 相当于剪枝
            if (chessboard[i][col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查45度对角线
        for (int i=row-1, j=col-1; i>=0 && j>=0; i--, j--) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }

        // 检查135度对角线
        for (int i=row-1, j=col+1; i>=0 && j<=n-1; i--, j++) {
            if (chessboard[i][j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

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3.组合问题

• 问题描述：
  

与排列问题类似，区别在于排列是有序的，而组合是无序的。

根据回溯法的算法模板：

public void backtracing(参数列表){
	if(终止条件){
		存放结果;
		return;
	}

	for(选择 : 选择列表){
            做选择;
            backtracking(路径, 选择路径);
            回溯，撤销选择;
	}
}

来思考解决组合问题的步骤，回溯法三部曲：

（1）确定回溯函数的参数
（2）回溯函数终止条件
（3）单层回溯过程

• 回溯函数的参数

根据算法题的要求，答案通过返回值来带回，要求用集合来完成。
我们创建两个集合，一个保存一种组合的结果，一个保存全部组合的结果。【为了方便直接定义为全局变量，增加可读性】
此时参数列表只需要传入元素个数n, 和组合中包含元素的个数k

• 回溯函数终止条件

当组合集合中元素个数与要求的个数相同时，说明已经满足条件，将该组合的集合添加到结果集合中即可

• 单层回溯过程

如果当前集合不为空，并且集合中不包含当前元素或当前元素不小于集合中的前一个元素，那么直接回到循环首部，进行下一次循环

Java版本详解：

class Solution {

        //创建保存全部结果的集合
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
        //创建保存一个结果的集合
        LinkedList<Integer> path = new LinkedList<Integer>();

    public void combineBackTraking(int n, int k){
        if(path.size() == k){
            res.add(new ArrayList<Integer>(path));
            return;
        }

        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(path.size() != 0 && (path.contains(i) || i < path.getLast())){
                continue;
            }
            path.add(i);
            combineBackTraking(n, k);
            path.removeLast();
        }
    }
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        
        combineBackTraking(n, k);

        return res;

    }
}

---

4.电话号码的字母组合

• 问题描述：
  
  📝 解题思路：
  创建字符串数组，存储对应关系

回溯法三部曲：
(1)确定递归函数参数
老样子，将保存字符串集合的变量定义为全局变量；
参数为：字符串digits

(2)确定函数的终止条件
当前结果字符串的长度与原字符串的长度相同

(3)单层遍历逻辑
在循环开始的时候，首先要获得当前数字对应的字符串，遍历这个字符串，将字符添加到StringBuffer保存一个组合的字符串中，然后递归调用回溯函数，深度加一，回退的过程就是删除temp字符串末尾的字符

• Java版本：

class Solution {
    List<String> res = new ArrayList<String>();

    String [] map = {"", "", "abc", "def", "ghi", "jkl", "mno", "pqrs", "tuv", "wxyz"};
    
    StringBuffer temp = new StringBuffer();

    public void letter(String digits, int depth){
        if(temp.length() == digits.length()){
            res.add(temp.toString());
            return;
        }

        String str = map[digits.charAt(depth) - '0'];

        for(int i = 0; i < str.length(); i++){
            temp.append(str.charAt(i));
            letter(digits, depth + 1);
            temp.deleteCharAt(temp.length() - 1);
        }
    }
    public List<String> letterCombinations(String digits) {

        if(digits.length() == 0){
            return res;
        }

        letter(digits, 0);
        return res;
    }
}